Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(0，

3

)作兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別與曲線C交于A，B和CD．
①以線段AB為直徑的圓過能否過坐標原點，若能求出此時的k值，若不能說明理由；
②求四邊形ABCD面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）P（x，y）根據橢圓的定義可推斷點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓，進而可求得短半軸b，橢圓方程可得．
（2））①設直線l1：y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而根據以線段AB為直徑的圓過坐標原點，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k．
②由①可求得|AB|的表達式，進而把k換為-

1

k

求得|CD|表達式進而得到四邊形ABCD的面積，令k²+1=t，根據t的范圍可確定四邊形ABCD的面積的范圍，最后看當直線l₁或l₂的斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，此時四邊形ABCD的面積為2，綜合可得答案．

解答：解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）①設直線l1：y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3 .

消去y并整理得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
故x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，x1x2=-

1

k2+4

．
以線段AB為直徑的圓過坐標原點，則

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+

3

k(x1+x2)+3，
于是x1x2+y1y2=-

1

k2+4

-

k2

k2+4

-

6k2

k2+4

+3=0，
化簡得-4k²+11=0，所以k²=

11

4

．
②由①，|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4 k2+1

k2+4

=

4(k2+1)

k2+4

，
將上式中的k換為-

1

k

得|CD|=

4(k2+1)

4k2+1

，
由于AB⊥CD，故四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AB||CD|=

8(1+k2)2

(k2+4)(4k2+1)

，
令k²+1=t，則S=

8t2

(t+3)(4t-3)

=

8t2

4t2+9t-9

=

8

-9( 1 t )2+9( 1 t )+4

=

8

-9( 1 t - 1 2 )2+ 25 4

，
而

1

t

∈(0，1)，故4＜-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

≤

25

4

，故

32

25

≤S＜2，
當直線l₁或l₂的斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，不難驗證此時四邊形ABCD的面積為2，
故四邊形ABCD面積的取值范圍是[

32

25

，2]．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．