Question

已知：

a

=（sinx，1），

b

=（

3

，cosx），設函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的周期與最大值；
（2）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標運算公式和輔助角公式，化簡得f（x）=2sin（x+

π

6

），即可算出函數f（x）的周期與最大值；
（2）由正弦函數的單調區間公式，解關于x的不等式2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，即可得到f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，1），

b

=（

3

，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

）．
因此，函數f（x）的周期為T=

2π

|ω|

=2π，
∵sin（x+

π

6

）的最大值為1，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）最大值為2；
（2）根據題意，可得
設2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，
解出2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，(k∈Z)
∴f（x）的單調遞增區間為(2kπ-

2π 3

，

2kπ+

π

3

)，(k∈Z)．

點評：本題給出f（x）=

a

•

b

，在已知向量

a

、

b

含有三角函數的坐標情況下求f（x）的周期、最大值與求f（x）的單調區間．著重考查向量的數量積公式、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．