Question

若(3x-

1

x

)n的二項展開式中，所有項的系數之和為64，則展開式中的常數項是

-540

．

Answer 1

分析：依題意，(3x-

1

x

)n的二項展開式中，所有項的系數之和為64，就是x=1時的函數值，從而可求得n，利用其展開式的通項公式即可求得展開式中的常數項．

解答：解：依題意，當x=1時有2ⁿ=64，
∴n=6．設二項展開式的通項公式為：T_r+1=

C

r 6

•（3x）^6-r•（-x^-1）^r=（-1）^r•3^6-r•

C

r 6

•x^6-r-r，
∴由6-2r=0得r=3．
∴展開式中的常數項是T₄=（-1）³•3³•

C

3 6

=-540．
故答案為：-540．

點評：本題考查二項式定理的應用，由題意求得n=6是關鍵，著重考查二項展開式中的通項公式，屬于中檔題．