Question

設函數f（x）=x²+2ax+3．
（1）關于x的不等式f（x）≥3a-1對一切x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）解關于x的不等式f（x）＜1；
（3）函數f（x）在區間[-1，

2

]上有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）x²+2ax+3≥3a-1對一切x∈R恒成立，即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，所以（2a）²-4（4-3a）≤0，解得即可；
（2）對判別式討論大于0，等于0，小于0，再由二次不等式的解法，即可得到；
（3）要使函數在[-1，

2

]有零點，只需考慮a的符號和對稱軸的位置及端點的函數值的符號以及零點存在定理和運用，列出不等式組，解出即可得到范圍．

解答： 解：（1）由題意得，x²+2ax+3≥3a-1對一切x∈R恒成立，
即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，
所以（2a）²-4（4-3a）≤0，即a²+3a-4≤0，
解得，-4≤a≤1，
所以實數a的取值范圍-4≤a≤1；
（2）由f（x）＜1，得，x²+2ax+3＜1，
即x²+2ax+2＜0，
其中△=4a²-8，
當△=4a²-8≤0即-

2

≤a≤

2

時，不等式無實數解；
當△=4a²-8＞0，即a＞

2

或a＜-

2

時，
設x1=

-2a- 4(a2-2)

2

=-a-

a2-2

，x₂=-a+

a2-2

則x₁＜x＜x₂，
綜上所述，當-

2

≤a≤

2

時，不等式無解；
當a＜-

2

或a＞

2

時，不等式的解集為(-a-

a2-2

，-a+

a2-2

 )；
（3）要使函數f(x)=x2+2ax+3在區間上[-1，

2

]上有零點，須

△≥0 -1≤-a≤ 2 f( 2 )≥0 f(-1)≥0

或f(

2

)•f(-1)≤0，或△=4a²-12=0，即

△=4a2-12≥0 -1≤-a≤ 2 f(-1)=1-2a+3≥0 f( 2 )=2+2 2 a+3≥0

或(4-2a)(5+2

2

a)≤0，或a=±

3

，（不合題意）
解得，a≤-

5 2

4

或a≥2，
綜上所述，實數a的取值范圍（-∞，-

5 2

4

]∪[2，+∞）．

點評：本題考查二次函數的性質和二次不等式的解法，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．