【題目】已知橢圓
：
過點
，且它的焦距是短軸長的
倍.
（1）求橢圓的方程.
（2）若
，
是橢圓上的兩個動點（，兩點不關于
軸對稱），
為坐標原點，
，
的斜率分別為
，
，問是否存在非零常數
，使當
時，
的面積
為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）存在這樣的常數
，此時
.
【解析】
（1）將點
的坐標代入橢圓方程，結合
和
列方程組，解方程組求得橢圓的標準方程.（2）設直線
的方程為
和
兩點的坐標，將兩點兩點坐標代入
，化簡得到
①.聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形
的面積的表達式，結合①解得
和
的值.
解：（1）因為橢圓
：
過點，
所以
，
又因為該橢圓的焦距是短軸長的
倍，所以，從而
.
聯立方程組
，解得
，所以.
（2）設存在這樣的常數，使，
的面積為定值.設直線的方程為，點
，點
，則由知
，
，所以.①
聯立方程組
，消去
得
.
所以
，
點
到直線的距離
，
的面積
.④
將②③代入①得
，
化簡得
，⑤
將⑤代入④得
，
要使上式為定值，只需
，
即需
，從而
，此時
，
，
所以存在這樣的常數，此時.
應用題作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）集合
，
或
，對于任意
，定義
，對任意
，定義
，記
為集合
的元素個數，求
的值；
（2）在等差數列
和等比數列
中，
，
，是否存在正整數
，使得數列的所有項都在數列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（3）已知當
時，有
，根據此信息，若對任意，都有
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線C的頂點在原點，焦點F在y軸上，開口向上，焦點到準線的距離為
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知拋物線C過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，求證： 
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網站用“100分制”調查一社區人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以十位數字為莖，個位數字為葉）；若幸福度不低于95分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．
（1）從這10人中隨機選取3人，記
表示抽到“極幸福”的人數，求的分布列及數學期望；
（2）以這10人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記
表示抽到“極幸福”的人數，求的數學期望和方差．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為響應市政府提出的以新舊動能轉換為主題的發展戰略，某公司花費100萬元成本購買了1套新設備用于擴大生產，預計該設備每年收入100萬元，第一年該設備的各種消耗成本為8萬元，且從第二年開始每年比上一年消耗成本增加8萬元．
（1）求該設備使用x年的總利潤y（萬元）與使用年數x（x∈N*）的函數關系式（總利潤＝總收入﹣總成本）；
（2）這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？并求出年平均利潤的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為等腰梯形，
，其中點
在以
為直徑的圓上，
，
，
，平面
平面.
（1）證明：
平面.
（2）設點
是線段
（不含端點）上一動點，當三棱錐
的體積為1時，求異面直線
與
所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=
，AB=4．
（I）求證：M為PB的中點；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，其中
，連接
，延長與
的延長線交于點
，連接
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
時，求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）若直線
與平面
所成角的正弦值為
時，求
值．
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