Question

已知直線l的參數方程為

x=1+ 2 t y= 2 t

（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=

sinθ

1-sin2θ

．
（1）寫出直線l的極坐標方程與曲線C的普通方程；
（2）若點 P是曲線C上的動點，求 P到直線l的距離的最小值，并求出 P點的坐標．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：本題（1）可以先消參數，求出直線l的普通方程，再利用公式將曲線C的極坐標方程化成平面直角坐標方程，（2）利用點到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根據函數取最值的情況求出P點的坐標，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵

x=1+ 2 t y= 2 t

，
∴x-y=1．
∴直線的極坐標方程為：ρcosθ-ρsinθ=1．
即

2

ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)=1，
即

2

ρcos(θ+

π

4

)=1．
∵ρ=

sinθ

1-sin2θ

，
∴ρ=

sinθ

cos2θ

，
∴ρcos²θ=sinθ，
∴（ρcosθ）²=ρsinθ
即曲線C的普通方程為y=x²．
（2）設P（x₀，y₀），
y0=x02，
∴P到直線的距離：
d=

|x0-y0-1|

2

=

|x0-x02-1|

2

=

|-(x0- 1 2 )2- 3 4 |

2

=

(x0- 1 2 )2+ 3 4

2

．
∴當x0=

1

2

時，dmin=

3 2

8

，
∴此時P(

1

2

，

1

4

)，
∴當P點為(

1

2

，

1

4

)時，P到直線的距離最小，最小值為

3 2

8

．

點評：本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為平面直角坐標方程、點到直線的距離公式，本題難度不大，屬于基礎題．