Question

【題目】在四棱錐中， ， 且， 和都是邊長為2的等邊三角形，設在底面的投影為.

（1）求證： 是的中點；

（2）證明： ；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）， 由底面，得，點為的外心，結合為是直角三角形即可證得；

（2）由（1）知，點在底面的射影為點，點為中點， 底面，得，再分析條件可證得，從而得面，從而得證；

（3）以點為原點，以所在射線為軸 ， 軸， 軸建系，利用兩個面的法向量求解二面角的余弦即可.

試題解析：

（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴， 又∵底面，∴，

則點為的外心，又因為是直角三角形，∴點為中點.

（2）證明：由（1）知，點在底面的射影為點，點為中點，

底面，∴，

∵在中， ， ， ∴，

又且，∴，從而即，

由， 得面，∴.

（3）以點為原點，以所在射線為軸 ， 軸， 軸建系如圖，

∵，則， ,

， ， ， ，

設面的法向量為，則，

得， ，

取，得 故.

設面的法向量為，則

， ，取，則，故，

于是，

由圖觀察知為鈍二面角，所以該二面角的余弦值為.