Question

【題目】已知函數 ．

（1）當時，若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）當， 時，對任意，有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】試題分析：（1）討論、兩種情況，分別利用導數研究函數的單調性，結合函數的單調性，利用零點存在定理可得函數恰有一個零點時實數的取值范圍；（2）對任意，有成立，等價于，利用導數研究函數的單調性，分別求出最大值與最小值，解不等式即可的結果.

試題解析：（1）函數的定義域為．

當時， ，所以．

①當時， ，所以在上單調遞增，

取，則，

（或：因為且時，所以．）

因為，所以，此時函數有一個零點．

②當時，令，解得．

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增．

要使函數有一個零點，則即．

綜上所述，若函數恰有一個零點，則或．

（2）因為對任意，有成立，

因為，

所以．

因為，則．

所以，所以．

當時， ，當時， ，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增， ，

因為與，所以．

設 ，

則．

所以在上單調遞增，故，所以．

從而 ．

所以即，

設 ，則．

當時， ，所以在上單調遞增．

又，所以，即為，解得．

因為，所以的取值范圍為．