Question

（2013•成都模擬）定義在R上的函數滿足以下三個條件：
①對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②對任意的x₁，x₂∈[0，2]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；
③函數f（x+2）的圖象關于y軸對稱，
則下列結論正確的是（　　）

A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）

C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）

Answer 1

分析：錯誤：③函數f（x+2）的圖象關于Y軸對稱，應該是：③函數f（x+2）的圖象關于y軸對稱．

由條件可得，函數f（x）是周期等于4的周期函數，且函數在[0，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數．
根據f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（1），f（6.5）=f（1.5），再利用函數在[0，2]上是增函數可得結論．

解答：解：由①可得函數的圖象關于直線x=4對稱；，由②可得函數在[0，2]上是增函數；
由③可得函數f（x+2）為偶函數，故f（2-x）=f（2+x），故函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
綜上可得，函數f（x）是周期等于4的周期函數，且函數在[0，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數．
再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
故有 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故選A．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性、周期性，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．