Question

【題目】如圖， 面， ， ， 為的中點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（）見解析（）（）見解析.

【解析】試題分析：（1）， ，所以平面；（2）建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值；（3）由點在線段上，則， ，由，得，所以存在點。

試題解析：

（）證明：∵平面， 平面，

∴．

∵， ，

∴平面．

又平面，

∴．

∵， 為的中點，

∴．

又∵，

∴平面．

（）如圖，在平面內作，則， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標系．則， ， ， ， ．

， ， ．

設平面的法向量為，則：

，即，令，則．

∴．

由（）可知為平面的一個法向量，

∴．

∵二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（）證明：設是線段上一點，且， ，

即，

∴， ， ．

∴．

由，得，

∴線段上存在點，使得，此時．