Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，設點是橢圓： 上一點，從原點向圓： 作兩條切線分別與橢圓交于點， ，直線， 的斜率分別記為， .　

（1）求證： 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1.

【解析】試題分析：（1）因為直線： ， ： ，與圓相切，推出， 是方程的兩個不相等的實數根，利用韋達定理得，結合點點在橢圓上，得出；（2）當直線， 不落在坐標軸上時，設， ，通過，推出，結合， 在橢圓上，可得，再討論直線落在坐標軸上時，顯然有，然后表示出，結合基本不等式即可求出四邊形面積的最大值.

試題解析：（1）因為直線： ， ： ，與圓相切，

由，可得， 是方程的兩個不相等的實數根

∴，因為點在橢圓上，所以，

∴.

（2）（i）當直線， 不落在坐標軸上時，設， ，

因為，所以，即，

因為， 在橢圓上，

所以，

整理得，所以，

所以.

（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有，

綜上： .　

因為，

因為，

所以的最大值為1.