Question

在某次測驗中，有6位同學的平均成績為75分．用x_n表示編號為n（n=1，2，…，6）的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：

編號n	1	2	3	4	5
成績xn	70	76	72	70	72

（1）求第6位同學的成績x₆，及這6位同學成績的標準差s；
（2）從這6位同學中，隨機地選3位，記成績落在（70，75）的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）由題意得

1

6

(70+76+72+70+72+x6)=75，由此能求出x₆=90和這6位同學成績的標準差．
（2）這6位同學中，成績落在（70，75）的有編號為3、5兩位同學，故ξ的可能取值為：0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）由題意得

1

6

(70+76+72+70+72+x6)=75，（2分）
解得x₆=90，（3分）
這6位同學成績的標準差：s=

1 6 [(x1- . x )2+(x2- . x )2+…+(x6- . x )2]

=

1 6 (52+12+32+52+32+152)

=7．（6分）
（2）這6位同學中，成績落在（70，75）的有編號為3、5兩位同學，
故ξ的可能取值為：0，1，2．（7分）
且P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，（8分）
P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，（9分）
P(ξ=2)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，（10分）
∴ξ的分布列為：（11分）

ξ	0	1	2
P（ξ）	1 5	3 5	1 5

ξ的數學期望：Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．（12分）

點評：本題考查標準差的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．