Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax（a∈R）
（1）當a=2時，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（2）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），且F（x）在（0，+∞）有最大值，求a的取值范圍．
（3）求函數(shù)H（x）=f（x）g（x）在[0，4]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）當a=2時，f（x）=|x-2|，g（x）=2x；從而可化為4x²|x-2|=4x；從而求x的集合；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a-1)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，由分段函數(shù)從而求得0＜a＜1；
（3）H（x）=f（x）g（x）=ax|x-a|=

ax2-a2x，x≥a a2x-ax2，x＜a

，從而討論分段函數(shù)以求最大值，從而由分段函數(shù)寫出．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=|x-2|，g（x）=2x；
故g²（x）f（x）=4x可化為4x²|x-2|=4x；
解得x=0或x=1或x=1+

2

；
故x的集合為{0，1，1+

2

}；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|
=

(a-1)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
則由分段函數(shù)知，

a-1＜0 a+1＞0

；
解得，0＜a＜1；
（3）H（x）=f（x）g（x）=ax|x-a|=

ax2-a2x，x≥a a2x-ax2，x＜a

，
當a＜0時，H（x）在[0，4]上是減函數(shù)，
故H_max（x）=H（0）=0；
當a=0時，H（x）=0；
當0＜a＜4；
當a＜x≤4時，H_max（x）=H（4）=16a-4a²，
當0≤x＜a時，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
令16a-4a²=

a3

4

解得，a=8

2

-8；
故當0＜a≤8

2

-8時，H_max（x）=H（4）=16a-4a²；
當8

2

-8＜a＜4時，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
當4≤a＜8時，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
當a≥8時，H_max（x）=H（4）=4a²-16a；
綜上所述，H_max（x）=

0，a≤0 16a-4a2，0＜a≤8 2 -8 a3 4 ，8 2 -8＜a＜8 4a2-16a，a≥8

．

點評：本題考查了集合的求法及分段函數(shù)的應用，同時考查了分段函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．