Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³（x∈R），若0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（m•sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、[0，1]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用x³為奇函數(shù)得到f（x）為奇函數(shù)；據(jù)x³為增函數(shù)得到f（x）為增函數(shù)；利用單調(diào)性及奇偶性將抽象不等式的符號(hào)f脫去；分離參數(shù)，求不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．

解答： 解：∵f（x）=x³，∴f（x）在R上遞增且為奇函數(shù)，
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0即f（msinθ）＞-f（1-m），
即f（msinθ）＞f（m-1），
∴msinθ＞m-1，
∵0≤θ≤

π

2

，∴0≤sinθ≤1，
sinθ=1時(shí)，m＞m-1，成立；
0≤sinθ＜1時(shí)，m＜

1

1-sinθ

，
而

1

1-sinθ

≥1，
∴m＜1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用奇函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性將抽象的法則f脫去、考查解決不等式恒成立問(wèn)題常采用分離參數(shù)求函數(shù)的最值．