已知
，
，且直線
與曲線
相切．
（1）若對
內的一切實數
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）（ⅰ）當
時，求最大的正整數
，使得任意個實數
（
是自然對數的底數）都有
成立；
（ⅱ）求證：
．
（1）
；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）詳見解析.
解析試題分析：（1）由直線與曲線相切可以求出
中的參數
.再由對內的一切實數，不等式恒成立，即
在上恒成立，然后構造函數
，研究其導函數以確定其單調性，從而得到其最小值1.又
，所以實數的取值范圍是；（2）（ⅰ）先通過導函數確定
在上是增函數，從而得到在上的最大值.由題意，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經計算知
時不等式右邊取得最小值，然后代入不等式，解得
．因此，的最大值為
；（ⅱ）根據（1）的推導
時，
，從而
，再通過令
代入化簡即可得證.
試題解析：（1）設點
為直線與曲線的切點，則有
． （*）
，
． （**）
由（*）、（**）兩式，解得
，
． 1分
由整理，得
，
，
要使不等式恒成立，必須恒成立． 2分
設，
，
，當
時，
，則
是增函數，
，
是增函數，
，
．
因此，實數的取值范圍是． 4分
（2）（ⅰ）當時，
，
，
在上是增函數，
在上的最大值為
．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當
時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為． 8分
（ⅱ）證明：當時，根據（1）的推導有，時，
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
=
。
（1）當
時，求函數的單調增區間；
（2）求函數在區間
上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設
=+
，
求證：
（
），參考數據：
。（13分）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施不能建設開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設施邊界為曲線
的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設
．
(I)將
（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數S(t)；
(II)若
，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．
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（
），其中
．
時，求曲線
在點
處的切線方程；
時，求函數
的極大值和極小值．
，
.
，求證：當
時，
；
在區間
上單調遞增，試求
的取值范圍；
.
（其中
是實數）.
的單調區間；
，且
，求
的取值范圍．
是自然對數的底數）
時，求函數
的極大值和極小值；
時，
恒成立，求
的取值范圍.
其中
為自然對數的底數， 
.
，求函數
的最值；
，都有
成立，求
的取值范圍.
的單調性；
，若函數
在 區間
上有最值，求實數
的取值范圍.