Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點M為側棱AA₁上一動點，已知△BCM面積的最大值是2

3

，二面角M-BC-A的最大值是

π

3

，則該三棱柱的體積等于（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、3

  2

Answer 1

分析：由已知中圖形結合棱柱的幾何特征，可得當M點與A₁點重合時，△BCM的面積最大，二面角M-BC-A的度數也最大，根據△BCM面積的最大值是2

3

，二面角M-BC-A的最大值是

π

3

，求出棱柱底面上的棱長及高后，代入棱柱體積公式即可得到答案．

解答：解：當M點與A₁點重合時，△BCM的面積最大，二面角M-BC-A的度數也最大
令D為BC的中點，連接AD，MD
設底面棱長為2a，則AD=

3

a，則DM=2

3

a，AM=3a，
∵S_△BCM=

1

2

•BC•DM=

1

2

•2a•2

3

a=2

3

，
∴a=1
則該三棱柱的體積V=S_△ABC•AM=

1

2

•BC•AD•AM=

1

2

•2a•

3

a•3a=3

3

a3=3

3

故選A．

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，二面角的平面角及求法，其中分析出M點與A₁點重合時，△BCM的面積最大，二面角M-BC-A的度數也最大，是解答本題的關鍵．