Question

【題目】若數列滿足，數列為數列，記.

（1）寫出一個滿足，且的數列；

（2）若，，證明：數列是遞增數列的充要條件是；

（3）對任意給定的整數，是否存在首項為0的數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數列；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）0，1，0，1，0；（2）證明見解析；（3）見解析

【解析】

(1)根據與和可考慮寫出交替的數列.

(2)先證明必要性,根據數列是遞增數列,可得,進而求得.再證明充分性,因為,故,再累加可得證明即可.

(3) 設,則,再累加求得,再分析的奇偶,根據整除的性質,先假設存在再證明矛盾即可.

（1）0,1,0,1,0是一個滿足條件的數列.

（2）必要性：因為數列是遞增數列,

所以,

所以是首項為13,公差為1的等差數列.

所以,

充分性：由于,故,

,

……

,

所以,即,

又因為,,

所以,

故,即是遞增數列.

綜上所述,結論成立.

（3）設,則,

因為,

,

……

,

所以

,

因為,所以為偶數（）

所以為偶數,

所以要使,必須使為偶數,

即4整除,亦即或,

當時,數列的項滿足,,,

此時,有且成立,

當時,數列的項滿足,,,時,亦有且成立,

當或時,不能被4整除,此時不存在數列,使得且成立.