Question

【題目】定義在[﹣4，4]上的奇函數f（x），已知當x∈[﹣4，0]時，f（x）= + （a∈R）．
（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；
（2）若x∈[﹣2，﹣1]時，不等式f（x）≤ ﹣ 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義在[﹣4，4]上的奇函數，

∴f（0）=1+a=0，

∴a=﹣1，

∵ ，

設x∈[0，4]，

∴﹣x∈[﹣4，0]，

∴ ，

∴x∈[0，4]時，f（x）=3x﹣4x

（2）解：∵x∈[﹣2，﹣1]， ，

即

即 x∈[﹣2，﹣1]時恒成立，

∵2x＞0，

∴ ，

∵ 在R上單調遞減，

∴x∈[﹣2，﹣1]時， 的最大值為 ，

∴

【解析】（1）根據奇函數的性質即可求出a，設x∈[0，4]，﹣x∈[﹣4，0]，易求f（﹣x），根據奇函數性質可得f（x）與f（﹣x）的關系；（2）分離參數，構造函數，求出函數的最值問題得以解決．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．