Question

【題目】某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑，過點且與成角(即北偏東)的直線為此處的一段領海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離點海里的領海海面處有一艘可疑船停留，基地指揮部決定在測定可疑船的行駛方向后，海警巡邏艇從處即刻出發。若巡邏艇以可疑船的航速的倍前去攔截，假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速，將在點處截獲可疑船。

(1)若可疑船的航速為海里小時，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間。

(2)若要確保在領海內(包括分界線)成功攔截可疑船，求的最小值。

Answer 1

【答案】（1）小時；（2）。

【解析】

(1) 設，則，利用余弦定理求出a值，進而得到巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間；

（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，可疑船被截獲的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，利用直線與圓的位置關系得到結果.

(1)因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速為海里/小時，所以巡邏艇的航速為海里/小時，且，設，則，

又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，

在中，有，

即，故，解得(負值舍去)

所以小時。

(2)以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，

因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的倍，所以，

故，即

故可疑船被截獲的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

又直線的方程為，即，

要確保在領海內(包括分界線)成功攔截可疑船，則：

圓心在直線下方，且的軌跡與直線至多只有一個公共點，

所以且

即，解得，

故要確保在領海內(包括分界線)成功攔截可疑船，則。