Question

【題目】（本題滿分12分） 如圖，的外接圓的半徑為，所在的平面，，，，且，．

（1）求證：平面ADC平面BCDE．

（2）試問線段DE上是否存在點M，使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為？若存在，

確定點M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案詳見解析；（2）存在，且．

【解析】

試題（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，則BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直徑，則AC⊥BC由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2）方法一：過點M作MN⊥CD于N，連接AN，作MF⊥CB于F，連接AF，可得∠MAN為MA與平面ACD所成的角，設MN=x，則由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為，我們可以構造關于x的方程，解方程即可求出x值，進而得到點M的位置．方法二：建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直線AM的方向向量（含參數λ），由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為，根據向量夾角公式，我們可以構造關于λ的方程，解方程即可得到λ值，進而得到點M的位置．

試題解析：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB

∵BE=1，∴，

從而

∵⊙的半徑為，∴AB是直徑，

∴AC⊥BC

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE

（2）方法1：

假設點M存在，過點M作MN⊥CD于N，連結AN，作MF⊥CB于F，連結AF

∵平面ADC平面BCDE，

∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角

設MN=x，計算易得，DN=，MF=

故

解得：（舍去），…11分

故，從而滿足條件的點存在，且

方法2：建立如圖所示空間直角坐標系C—xyz，

則：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），則

易知平面ABC的法向量為，假設M點存在，設，則，再設 ，

即，從而…10分

設直線BM與平面ABD所成的角為，則：

解得，其中應舍去，而故滿足條件的點M存在，且點M的坐標為