Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，，（）

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；

（3）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）取得中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）通過建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式即可得出；

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出．

（1）證明：取的中點，連接，

，，

四邊形是平行四邊形，

，且，，

，，

又，．

側棱底面，，

，平面．

（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，．

，，．

設平面的一個法向量為，

則，取，則，．

．

設與平面所成角為，則

，

解得，故所求．

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出．