Question

【題目】已知函數f(x)，對任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x<0時，f(x)>1.

(1)求證：f(x)是R上的減函數；

(2)若f(6)＝7，解不等式f(3m2－2m－2)<4.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) {m|m<－1或m>}.

【解析】

(1)利用函數的單調性的定義，即可證得函數f(x)是R上的減函數；

(2)因由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，可得f(6)＝f(3＋3)＝f(3)＋f(3)－1＝7，求得f(3)＝4，結合函數的單調性，把不等式轉化為3m2－2m－2>3，即可求解.

(1)由題意，任取x1，x2∈R，且x1<x2，則x1－x2<0，

因為當x<0時，f(x)>1，可得f(x1－x2)>1.

又因為f(x1)－f(x2)＝f((x1－x2)＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－1－f(x2)＝f(x1－x2)－1>0.

所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)是R上的減函數.

(2)因為f(x)對任意a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，

可得f(6)＝f(3＋3)＝f(3)＋f(3)－1＝7，所以f(3)＝4，

所以f(3m2－2m－2)<4＝f(3)，

又因為f(x)是R上的減函數，所以3m2－2m－2>3，解得m<－1或m>

所以不等式的解集為{m|m<－1或m>}.