Question

【題目】已知空間幾何體中， 與均為邊長為2的等邊三角形， 為腰長為3的等腰三角形，平面平面，平面平面．

（1）試在平面內作一條直線，使得直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取中點，取中點，取中點，則根據等腰三角形性質得，由面面垂直性質定理得平面，同理可得平面，即得，由三角形中位線性質得，因此可得面面平行，即得結論，（2）取中點，由面面垂直性質定理可得平面，再根據錐體體積公式求體積.

試題解析：（1）如圖所示，取中點，取中點，連結，則即為所求．

證明：取中點，連結，

∵為腰長為的等腰三角形， 為中點，

∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

同理，可證平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 分別為， 中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面．

（2）連結，取中點，連結，則，

由（1）可知平面，

所以點到平面的距離與點到平面的距離相等．

又是邊長為的等邊三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又為中點，∴，

又， ，∴．

∴ ．

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.