Question

【題目】已知函數 ．
（Ⅰ）如果f（x）在x=0處取得極值，求k的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（III）當k=0時，過點A（0，t）存在函數曲線f（x）的切線，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數的定義域為R，
∴
∵函數f（x）在x=0處取得極值
∴ ，解得：k=0
當k=0時， ， ，
∴函數f（x）在x=0處取得極小值，符合題意．
（Ⅱ）因為 ．
①當k≥1時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）為減函數
②當k＜1時，令f'（x）=0，則x=﹣ln（1﹣k），
當x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））時，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上單調遞減；
當x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上單調遞增；
（III）設切點坐標為（x0 ， y0），
則切線方程為y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）
即
將A（0，t）代入得 ．
令 ，所以 ．
當 時，x0=0．
所以 當x∈（﹣∞，0）時，M'（x）＞0，函數M（x）在x∈（﹣∞，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減．
所以 當x0=0時，M（x）max=M（0）=1，無最小值．
當t≤1時，存在切線．
【解析】（Ⅰ）先求導，根據導數和極值的關系即可求出k的值，（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可求出單調區間，（Ⅲ）切點坐標為（x0 ， y0），根據導數的幾何意義，以及導數和最值得關系即可求出．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．