Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當x＞1時，f（x）＜0．
①求f（1）的值；
②判斷f（x）的單調性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析：①在f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）中令x₁=x₂，即可求得f（1）；
②定義法：設x₁＞x₂＞0，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由x＞1時f（x）＜0可判斷f（

x1

x2

）的符號，從而可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據單調性定義即可作出判斷；
③由f（3）=-1及f（

9

3

）=f（9）-f（3），可求得f（9）=-2，從而f（|x|）＜-2可化為f（|x|）＜f（9），根據單調性可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式，解出即可；

解答：解 ①由f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），令x₁=x₂，則f（1）=0；
②設x₁＞x₂＞0，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
因為

x1

x2

＞1，所以f（

x1

x2

）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上為單調減函數；
③因為f（3）=-1，又f（

9

3

）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，
所以f（|x|）＜-2，可化為f（|x|）＜f（9），
又f（x）為（0，+∞）上的單調減函數，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集為（-∞，9）∪（9，+∞）．

點評：本題考查抽象函數的單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，考查轉化思想，抽象函數的性質問題常利用定義進行解決，解決抽象不等式的基本思路是利用性質轉化為具體不等式處理．