Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值．
（2）判斷f（x）的單調性．
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂＞0，代入可得答案；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則

x1

x2

＞1，可得f（x₁）＜f（x₂），進而可得函數的單調性；
（3）由題意可得f（9）=-2，故可把不等式化為f（|x|）＜f（9），由函數的單調性可知|x|＞9，解之可得答案．

解答：解：（1）令x₁=x₂＞0，代入原式可得：
f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，
故f（1）的值為0；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則

x1

x2

＞1，
由于當x＞1時，f（x）＜0，所以f（

x1

x2

）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數；
（3）由f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）得f（

9

3

）=f（9）-f（3），
因為f（3）=-1，所以f（9）=-2，
所以不等式f（|x|）＜-2可化為f（|x|）＜f（9），
由于函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數，
所以|x|＞9，解得x＞9，或x＜-9，
故不等式的解集為{x|x＞9，或x＜-9}

點評：本題考查函數單調性的判斷和證明，涉及函數的求值和絕對值不等式的解集，屬基礎題．