Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并予以證明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（log₂x）＞-2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂＞0，代入f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)可求出f（1）的值；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂則

x1

x2

＞1，根據(jù)條件可得f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定；
（3）將函數(shù)值-2用f（9）表示，然后根據(jù)單調(diào)性建立不等式，解之即可．

解答：解：（1）令x₁=x₂＞0，代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0
∴f（1）=0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂則

x1

x2

＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0
∴f(

x1

x2

)＜0即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）由f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，得f（

9

3

）=f（9）-f（3）
而f（3）=-1所以f（9）=-2
由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)且f（log₂x）＞f（9）
 則0＜log₂x＜9即1＜x＜512
因此不等式的解集為{x|1＜x＜512}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)不等式的求解，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．