Question

【題目】已知,定義:表示不超過的最大整數,例如:,.

（1）若,寫出實數的取值范圍；

（2）若,且,求實數的取值范圍；

（3）設,,若對于任意的,都有,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）；（3）

【解析】

（1）由表示不超過的最大整數,可得的取值范圍為；

（2）由指數函數的單調性,可得,則,即有,考慮,解不等式即可得到所求范圍；

（3）化簡得在單調遞減,在單調遞增.求得的最值,可得所以在恒成立,討論當時,當時,由新定義和二次函數的最值求法,即可得到所求的范圍.

解:（1）若,

則表示不超過的最大整數,

所以,

故的取值范圍為；

（2）若,可得,

,

則,,

,

當時,,不符合.

當時,,不符合.

則時,,不符合.

當時,

所以,解得.

所以實數的取值范圍為；

（3）

在單調遞減,在單調遞增.

可得,,

則,

所以在恒成立,

即,整理得在恒成立,

當時, 在恒成立,即,

當時, 在恒成立,即,

綜上可得: 實數的取值范圍為.