【題目】設函數
的定義域為
，若滿足條件：存在區間
，使在
上的值域為，則稱為“不動函數”.
（1）求證：函數
是“不動函數”；
（2）若函數
是“不動函數”，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）可判斷
在
上單調遞增，取
，得出
；取
，得出
．即在區間
上的值域為，即得出是“不動函數”；
（2）可判斷
在
上單調遞增，根據是“不動函數”可得出，存在
使得函數在區間上的值域為．從而得出方程
在上至少有兩個不相等的實數根．即
在上至少有2個解，等價于
和
的圖像至少有2個交點，研究函數圖像即可求出
的取值范圍．
（1）要證：存在區間使得
在上的值域為，
又由于在
是一個單調遞増的函數，
故只需證存在實數
，
滿足
，且有
觀察得
，
，
即存在，符合題意，
故函數是“不動函數”.
（2）由題，定義域為，即存在實數，滿足
，使得
在區間上的值域為，
由于
在定義域上單調遞増，從而有
，
該方程組等價于方程
在有至少2個解，
即在上至少有2個解，
即和的圖像至少有2個交點，
記
，則
，且
，從而有
，
記
，配方得
，
又
，作出的圖像可知，
時有兩個交點，
綜上，的取值范圍為.
激活思維智能訓練課時導學練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著科學技術的飛速發展，手機的功能逐漸強大，很大程度上代替了電腦、電視.為了了解某高校學生平均每天使用手機的時間是否與性別有關，某調查小組隨機抽取了30名男生、20名女生進行為期一周的跟蹤調查，調查結果如下表所示：
平均每天使用手機超過3小時 | 平均每天使用手機不超過3小時 | 合計 | |
男生 | 25 | 5 | 30 |
女生 | 9 | 11 | 20 |
合計 | 34 | 16 | 50 |
(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學生使用手機的時間長短與性別有關？
(2)在這20名女生中，調查小組發現共有15人使用國產手機，在這15人中，平均每天使用手機不超過3小時的共有9人.從平均每天使用手機超過3小時的女生中任意選取3人，求這3人中使用非國產手機的人數X的分布列和數學期望.
參考公式： 
P(K2≥k0) | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線x2=4y．
（1）求拋物線在點P（2，1）處的切線方程；
（2）若不過原點的直線l與拋物線交于A，B兩點（如圖所示），且OA⊥OB，|OA|=
|OB|，求直線l的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某大豆種子發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子的發芽數，得到如下數據：
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
溫差 | 8 | 12 | 13 | 11 | 10 |
發芽數 | 18 | 26 | 30 | 25 | 20 |
該學習組所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗.
（1）求選取的2組數據恰好是相鄰2天的數據的概率；
（2）若選取的是4月1日與4月5日這2組數據做檢驗，請根據4月2日至4月4日這3組數據求出
關于
的線性回歸方程
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）所得的線性回歸方程是否可靠？
參考公式和數據：
，
；
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校微信公眾號收到非常多的精彩留言,學校從眾多留言者中抽取了100人參加“學校滿意度調查”,其留言者年齡集中在
之間,根據統計結果,做出頻率分布直方圖如下:
(1)求這100位留言者年齡的平均數和中位數;
(2)學校從參加調查的年齡在
和
的留言者中,按照分層抽樣的方法,抽出了6人參加“精彩留言”經驗交流會,贈與年齡在的留言者每人一部價值1000元的手機,年齡在的留言者每人一套價值700元的書,現要從這6人中選出3人作為代表發言,求這3位發言者所得紀念品價值超過2300元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省為了確定合理的階梯電價分檔方案，對全省居民用量進行了一次抽樣調查，得到居民月用電量（單位：度）的頻率分布直方圖（如圖所示），求：
（1）若要求80%的居民能按基本檔的電量收費，則基本檔的月用電量應定為多少度？
（2）由頻率分布直方圖可估計，居民月用電量的眾數、中位數和平均數分別是多少？
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