Question

數列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

(n∈N*)，若數列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₂的值為（　　）

• A、-672
• B、-671
• C、2012
• D、672

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由于a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

=

- 1 2 ，n=3k+2或3k+1 1，n=3k

，可得S₂₀₁₂=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂），代入解出即可．

解答： 解：∵a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

=

- 1 2 ，n=3k+2或3k+1 1，n=3k

，
∴S₂₀₁₂=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）
=1+1+670×1
=672．
故選：D．

點評：本題考查了三角函數與數列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．