Question

在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，已知曲線C的極坐標方程式為ρ=2，P是曲線C上的動點，A（2，0），M是線段AP的中點，曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m．
（Ⅰ）求點M軌跡C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）當曲線C₁與曲線C₂有兩個公共點時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2，可得直角坐標方程x²+y²=4．可設曲線C的參數方程，P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中點坐標公式即可得出．
（II）曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化為x+y-m=0，與x²+y²=4聯立，利用曲線C₁與曲線C₂有兩個公共點，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2，可得x²+y²=4．
可設曲線C的參數方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，
設P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
則

x=cosθ+1 y=sinθ

，
消去θ可得點M的軌跡方程為：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化為x+y-m=0，
與x²+y²=4聯立可得2x²-2mx+m²-4=0，
∵曲線C₁與曲線C₂有兩個公共點，
∴△=4m²-8（m²-4）＞0，
∴-2

2

＜m＜2

2

．

點評：本題綜合考查了圓的極坐標方程、直角坐標方程、參數方程及中點坐標，屬于中檔題．