Question

【題目】某校高三有500名學生，在一次考試的英語成績服從正態分布，數學成績的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優秀，則本次考試英語、數學特別優秀的大約各多少人？

（Ⅱ）試問本次考試英語和數學的成績哪個較高，并說明理由.

（Ⅲ）如果英語和數學兩科都特別優秀的共有6人，從（Ⅰ）中的這些同學中隨機抽取3人，設三人中兩科都特別優秀的有人，求的分布列和數學期望。

參考公式及數據：

若，則，

，.

Answer 1

【答案】（1）英語、數學特別優秀的大約各10,12; （2）英語的平均成績更高; （3）

【解析】

（1）先求出英語和數學特別優秀的的概率，由此能求出英語和數學都特別優秀的人數；

（2）分別計算得到英語和數學的平均分，比較平均分的大小，可得到結論；

（3）由題意得的所有可能的值為，分別求出相應的概率，由此得到的分布列，求解數學期望．

（1）英語成績服從正態分布,

∴英語成績特別優秀的概率為

數學成績特別優秀的概率為,

∴英語成績特別優秀的同學有人，

數學成績特別優秀的同學有人.

（2）英語的平均成績為100分，數學的平均成績為

因為，

所以英語的平均成績更高.

（3）英語和數學都特別優秀的有6人，單科優秀的有10人，可取得值有0,1,2,3，

； ；

；

故的分布列為：

	0	1	2	3

的數學期望為（人）．

或：因服從超幾何分布，所以