Question

【題目】已知函數(shù)在時取得極小值．

（1）求實數(shù)的值；

（2）是否存在區(qū)間，使得在該區(qū)間上的值域為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知得，根據(jù)可得或．然后根據(jù)極值定義進(jìn)行分別驗證：當(dāng)時， 在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時， 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意．（2）由區(qū)間定義知，因為，所以．下面根據(jù)所在區(qū)間位置關(guān)系進(jìn)行討論：結(jié)合得 ① 若，則，因為，所以．有唯一解為．② 若，則，即或．根據(jù)對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性知不存在滿足條件的．

試題解析：（1），

由題意知，解得或． 2分

當(dāng)時， ，

易知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)時， ，

易知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意．

所以，滿足條件的． 5分

（2）因為，所以． 7分

① 若，則，因為，所以． 9分

設(shè)，則，

所以在上為增函數(shù)．

由于，即方程有唯一解為． 11分

② 若，則，即或．

（Ⅰ）時， ，

由①可知不存在滿足條件的． 13分

（Ⅱ）時， ，兩式相除得．

設(shè)，

則，

在遞增，在遞減，由得， ，

此時，矛盾．

綜上所述，滿足條件的值只有一組，且． 16分