Question

已知斜率為1的直線l，過橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點F₂，交橢圓于A，B兩點，求弦長AB和△ABF₁的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程y=x-1與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由橢圓

x2

3

+

y2

2

=1可得右焦點F₂（1，0），左焦點F₁（-1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．
聯立

y=x-1 2x2+3y2=6

，化為5x²-6x-3=0．
∴x₁+x₂=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 6 5 )2-4×(- 3 5 )]

=

8 3

5

．
F₁點到直線AB的距離d=

2

2

=

2

．
∴△ABF₁的面積=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

2

×

8 3

5

=

4 6

5

．
∴弦長|AB|=

8 3

5

，△ABF₁的面積為

4 6

5

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．