Question

已知函數f（x）=x³+ax²+x+c，對x∈[-1，2]，f（x）單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：先求出函數的導數，由題意得不等式3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

對任意x∈[-1，2]恒成立，利用函數的導數求出函數的最值，從而求出a的值．

解答： 解：函數f（x）=x³+ax²+x+c，f′（x）=3x²+2ax+1，
∵f（x）在x∈[-1，2]，f（x）單調遞減，
∴f′x）≤0對任意x∈[-1，2]恒成立，
∴3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

，
對任意x∈[-1，2]恒成立，
令g（x）=-

3x2+1

2x

，則g′（x）=-

6x2-3x2-1

2x2

=-

3x2-1

2x2

，
令

3x2-1

2x2

=0，可得x=±

3

3

，
x∈[-1，-

3

3

），g′（x）＞0，x∈（-

3

3

，

3

3

），g′（x）＜0，
x∈（

3

3

，2），g′（x）＞0，
所以g（x）的最小值為：g（-1）=2（舍去）或g（

3

3

）=-

3

則a≤-

3

∴a≤-

3

．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求參數的范圍，是一道中檔題