Question

【題目】已知是圓上任意一點，點的坐標為，直線分別與線段交于兩點，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與軌跡相交于兩點，設為坐標原點， ，判斷的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（定值）

【解析】試題分析：（1）化簡向量關系式可得，所以是線段的垂直平分線，所以，轉化為橢圓定義，求出橢圓方程；（2）聯立直線與橢圓方程，根據根與系數的關系求出，再由點到直線的距離公式求三角形高，寫出三角形面積化簡即可證明為定值.

試題解析：（1）由可知是線段的中點，將

兩邊平方可得， 得：

，即，所以是線段的垂直平分線，所以，

所以，∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，所求橢圓方程為： .

（2）設，由得，

由得，且有

，且有

因為，得，即 化簡得：

滿足， ，

點到直線的距離，所以（定值）