Question

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求直線與曲線C圍成的區域面積；

（Ⅱ）點在直線上，點，過點作曲線C的切線、，切點分別為、，證明：存在常數，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1

【解析】試題分析：可出設動圓圓心的坐標為，根據題設用直接法可得曲線方程；（Ⅰ）直線方程和曲線方程聯立求交點坐標，根據定積分求曲邊形面積可得結果；（Ⅱ）設、， ，根據導數求切線斜率，設切線方程，由韋達定理、用 ，表示可得 .

試題解析：（Ⅰ）設動圓圓心的坐標為，由題意可得， ，化簡得， 聯立方程組，解得或，所以直線與曲線C圍成的區域面積為；

（Ⅱ）設、，則由題意可得，切線的方程為，切線的方程為，再設點，從而有，所以可得出直線AB的方程為，即．

聯立方程組，得，又，所以有，

可得，

，

，

所以常數．

【方法點晴】本題主要考查拋物線標準方程、定積分的應用以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在，注意：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規方法題很難時采取另外的途徑.