Question

【題目】在平面直角坐標系中有如下正確結論：為曲線（、為非零實數，且不同時為負）上一點,則過點的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點,為過點的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過橢圓上一點引橢圓的切線,與軸交于點．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)

【解析】

(1)根據已知題目中所給的結論結合斜率公式可以證明出為定值；

(2) 由題目中的結論求出橢圓切線方程,求出點的坐標,根據等邊三角形三邊相等列出方程組,即可求出的值；

(3)設出直線的方程,根據與圓相切和(2)中橢圓相切,得到兩個等式,求出三角形的面積表達式,最后利用基本不等式可以求出三角形的面積的取值范圍．

(1) 為橢圓上一點,為過點的橢圓的切線,所以的方程為：,由題意可知：,所以

為定值；

(2)設點的坐標為：,由已知所給的結論可知：過橢圓上一點引橢圓的切線的方程為：,與題意可知：點的坐標為：.

.

因為為正三角形,所以三邊相等,因此有方程組：

,因為點在橢圓上,所以

橢圓的方程為；

(3)設直線的方程為：,由題意可知：.與兩個坐標軸的交點坐標分別為：,所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積為：.

因為直線與相切,所以方程組：有唯一解,

即方程有唯一實根,故,

即.

因為直線與相切,所以方程組：有唯一解,

即方程有唯一實根,故,

即,而,所以

因為,所以,因為,所以這個不等式恒成立.

(當且僅當時取等號,即

取等號),所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積的取值范圍為.