Question

【題目】某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）.若第 1 年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的 50％.現(xiàn)用()表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，企業(yè)經(jīng)過成本核算，若 萬元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列）.

Answer 1

【答案】(1) ();(2)12

【解析】

(1)由題意可得:第1年至第6年時(shí)為遞減等差數(shù)列,易求;從第7年開始為以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,則可求得;

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則也是單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)時(shí),易求100萬元;當(dāng)時(shí)，通過計(jì)算判斷萬元,萬元,則可得第12年年初更換車床.

(1)由題意可得在第1年至第6年時(shí)數(shù)列為以為首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,所以可得在第7年開始數(shù)列是以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列，則可求得,

綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式 ();

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則由題意得新數(shù)列即也是單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)時(shí),（萬元）,所以前六年不用更換車床;

當(dāng)時(shí),

由（萬元）,（萬元）,且是單調(diào)遞減數(shù)列,可得當(dāng)時(shí),（萬元）恒成立,所以該企業(yè)必須在第12年年初更換車床.