【題目】如圖，已知圓柱內有一個三棱錐
，
為圓柱的一條母線，
，
為下底面圓
的直徑，
，
.
（1）在圓柱的上底面圓內是否存在一點
，使得
平面
？證明你的結論.
（2）設點
為棱
的中點，
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）當點
為上底面圓的圓心時，證明見解析.（2）
【解析】
（1）當點為上底面圓的圓心時，
平面
，取上底面圓的圓心為
，連接
，
，
，
，先證明四邊形
為平行四邊形，可得到
，然后可得四邊形
為平行四邊形，然后得到
即可.
（2）以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，算出平面
的法向量，平面
的一個法向量為
，然后算出答案即可.
（1）當點為上底面圓的圓心時，平面.
證明如下：
如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，
則
，
.
所以四邊形為平行四邊形，
所以
，所以.
又
，所以四邊形為平行四邊形，
所以.
因為
平面，
平面，
所以
平面.
故點為上底面圓的圓心時，平面.
（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
于是可得
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
設平面的一個法向量為
，
由
，得
.
令
，則可取
.
取平面的一個法向量為.
設平面與平面所成的銳二面角為
，則
，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
智能訓練練測考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為評估設備
生產某種零件的性能，從設備生產該零件的流水線上隨機抽取100個零件為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
經計算，樣本的平均值
，標準差
，以頻率值作為概率的估計值.
（I）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為
，并根據以下不等式進行判定（
表示相應事件的概率）：
①
；
②
；
③
.
判定規則為：若同時滿足上述三個式子，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為了.試判斷設備
的性能等級.
（Ⅱ）將直徑尺寸在
之外的零件認定為是“次品”.
①從設備的生產流水線上隨機抽取2個零件，求其中次品個數
的數學期望
；
②從樣本中隨意抽取2個零件，求其中次品個數
的數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l的參數方程為
為參數
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
．
求曲線C的直角坐標方程與直線l的極坐標方程；
Ⅱ若直線
與曲線C交于點
不同于原點，與直線l交于點B，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們正處于一個大數據飛速發展的時代，對于大數據人才的需求也越來越大，其崗位大致可分為四類：數據開發、數據分析、數據挖掘、數據產品.某市2019年這幾類工作崗位的薪資（單位：萬元/月）情況如下表所示：
薪資
崗位 |
|
|
|
|
數據開發 |
|
|
|
|
數據分析 |
|
|
|
|
數據挖掘 |
|
|
|
|
數據產品 |
|
|
|
|
由表中數據可得該市各類崗位的薪資水平高低情況為（ ）
A.數據挖掘＞數據開發＞數據產品＞數據分析
B.數據挖掘＞數據產品＞數據開發＞數據分析
C.數據挖掘＞數據開發＞數據分析＞數據產品
D.數據挖掘＞數據產品＞數據分析＞數據開發
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓柱內有一個三棱錐
，
為圓柱的一條母線，
，
為下底面圓
的直徑，
，
.
（1）在圓柱的上底面圓內是否存在一點
，使得
平面
？證明你的結論.
（2）設點
為棱
的中點，
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果，選50名患者服藥一段時間后，記錄了這些患者的生理指標
和
的數據，并統計得到如下的
列聯表（不完整）：
|
| 合計 | |
| 12 | 36 | |
| 7 | ||
合計 |
其中在生理指標
的人中，設
組為生理指標
的人，
組為生理指標
的人，他們服用這種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：
組：10，11，12，13，14，15，16
組：12，13，15，16，17，14，25
（Ⅰ）填寫上表，并判斷是否有95%的把握認為患者的兩項生理指標和有關系；
（Ⅱ）從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率．
附：
，其中
．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點M，線段BM與圓O交于點N，且
，則a的取值范圍為_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橋牌是一種高雅、文明、競技性很強的智力性游戲．近年來，在中國橋牌協會“橋牌進校園”活動的號召下，全國各地中小學紛紛積極加入到青少年橋牌推廣的大營中．為了了解學生對橋牌這項運動的興趣，某校從高一學生中隨機抽取了200名學生進行調查，經統計男生與女生的人數之比為2：3，男生中有50人對橋牌有興趣，女生中有20人對橋牌不感興趣．
（1）完成2×2列聯表，并回答能否有
的把握認為“該校高一學生對橋牌是否感興趣與性別有關”？
感興趣 | 不感興趣 | 合計 | |
男 | 50 | —— | —— |
女 | —— | 20 | —— |
合計 | —— | —— | 200 |
（2）從被調查的對橋牌有興趣的學生中利用分層抽樣抽取6名學生，再從6名學生中抽取2名學生作為橋牌搭檔參加雙人賽．求抽到一名男生與一名女生的概率．
附：參考公式
，其中
．
臨界值表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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