Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈R^*都成立，我們稱數列{c_n}是“K類數列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}，{b_n}是否為“K類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（Ⅱ）證明：若數列{c_n}是“K類數列”，則數列{a_n+a_n+1}也是“K類數列”；
（Ⅲ）若數列a_n滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數．求數列{a_n}前2012項的和．并判斷{a_n}是否為“K類數列”，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由數列通項，可得a_n+1=a_n+2，b_n+1=2b_n，對照新定義，即可得到結論；
（II）若數列{a_n}是“κ類數列”，則存在實常數p、q，使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，從而可得（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，即可得到結論；
（III）利用等比數列的求和公式，可求數列{a_n}前2012項的和，利用新定義，可以判斷{a_n}是“K類數列”．

解答：（Ⅰ）解：因為a_n=2n，所以有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故數列{a_n}是“κ類數列”，對應的實常數分別為1，2；    …（1分）
因為bn=3•2n，所以有b_n+1=2b_n，n∈N^*．
故數列{b_n}是“κ類數列”，對應的實常數分別為2，0．…（3分）
（Ⅱ）證明：若數列{a_n}是“κ類數列”，則存在實常數p、q，使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
故數列{a_n+a_n+1}也是“κ類數列”，對應的實常數分別為p，2q．                          …（6分）
（Ⅲ）因為 an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，所以有a₁+a₂=3t•2，a3+a4 =3t•23 …，a2009+a2010 =3t•22009a2011+a2012 =3t•22011
故數列{a_n}前2012項的和S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₀₉+a₂₀₁₀）+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）=3t•2+3t•2³+…+3t•2²⁰⁰⁹+3t•2²⁰¹¹=2t（2²⁰¹²-1）…（9分）
若數列{a_n}是“κ類數列”，則存在實常數p、q，使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
而an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，且an+1+an+2=3t•2n+1(n∈N*)，
則有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q對于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
當p=2，q=0時，a_n+1=2a_n，an=2n，t=1，經檢驗滿足條件．
當t=0，q=0時，a_n+1=-a_n，an=2(-1)n-1，p=-1經檢驗滿足條件．
因此當且僅當t=1或t=0時，數列{a_n}是“κ類數列”．
對應的實常數分別為2，0或-1，0．               …（13分）

點評：本題考查新定義，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．