Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“M類數列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數列{a_n}是“M類數列”，則數列{a_n+a_n+1}也是“M類數列”；
（3）若數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數．求數列{a_n}前2009項的和．并判斷{a_n}是否為“M類數列”，說明理由；
（4）根據對（2）（3）問題的研究，對數列{a_n}的相鄰兩項a_n、a_n+1，提出一個條件或結論與“M類數列”概念相關的真命題，并探究其逆命題的真假．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是演繹推理和類比推理．（1）的解題思路是判斷a_n，b_n是否滿足“M類數列”的定義：存在實常數p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立．找到常數p、q是解決問題的關鍵．（2）是看數列{a_n+a_n+1}是否也滿足“M類數列”的定義，根據已知想辦法將數列{a_n+a_n+1}的通項公式轉化為“M類數列”的一般形式．（3）要先求出數列{a_n}的通項公式，然后利用（1）的解法解決問題．（4）是要根據（2）、（3）的結論，進行歸納，大膽猜想出一個與“M類數列”相關的真命題，原則是盡可能的要簡單，以便后續的證明．

解答：解：（1）因為a_n=2n，則有a_n+1=a_n=+2，n∈N^*，
故數列{a_n}是“M類數列”，對應的實常數分別為1，2．
因為b_n=3•2ⁿ，則有b_n+1=2b_n，n∈N^*，
故數列{b_n}是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0．
證明：（2）若數列{a_n}是“M類數列”，則存在實常數p，q，
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
故數列{a_n+a_n+1}也是“M類數列”．
對應的實常數分別為p，2q．
解：（3）因為a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），
則有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，
a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸，
數列{a_n}前2009項的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4），
若數列{a_n}是“M類數列”，則存在實常數p，q
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），則有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q對于任意n∈N^*，都成立，
可以得到t（p-2）=0，q=0，
①當p=2，q=0時，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，經檢驗滿足條件．
②當t=0，q=0時，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1，經檢驗滿足條件．
因此當且僅當t=1或t=0，時，數列{a_n}也是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0，或-1，0．
解：（4）命題一：若數列{a_n}是“M類數列”，則數列{a_n-a_n+1}也是“M類數列”．
逆命題：若數列{a_n-a_n+1}是“M類數列”，則數列{a_n}也是“M類數列”．
當且僅當數列{a_n-a_n+1}是常數列、等比數列時，逆命題是正確的．
命題二：若數列{a_n}是等比數列，則數列{a_n+a_n+1}、{a_n-a_n+1}、{a_n•a_n+1}、{

an

an+1

}是“M類數列”
逆命題：若數列{a_n+a_n+1}、{a_n-a_n+1}、{a_n•a_n+1}、{

an

an+1

}是“M類數列”則數列{a_n}是等比數列．
逆命題是正確的．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論推理．三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P．