Question

5、對(duì)于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p，q，使得c_n+1=pc_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“M類數(shù)列”？
若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p&，q，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（II）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)的和；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，如果存在，求出t；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：對(duì)于（I）因?yàn)閍_n=2n，b_n=3•2ⁿ，則可驗(yàn)證a_n+1與a_n的關(guān)系，b_n+1與b_n的關(guān)系^*，寫(xiě)出表達(dá)式，即可驗(yàn)證數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“M類數(shù)列”．
對(duì)于（II）（1）因?yàn)閍_n+a_n+1=3t•2ⁿ，可依此相加列出數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)和等式，可以看出是等比數(shù)列的求和公式求得．
（2）可假設(shè)數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，再根據(jù)題意解除t，求出對(duì)應(yīng)常數(shù)即可．

解答：解：（I）因?yàn)閍_n=2n，則有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2．
因?yàn)閎_n=3•2ⁿ，則有b_n+1=2b_nn∈N^*
故數(shù)列{b_n}是“M類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0．
（II）（1）因?yàn)閍_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*）
則有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸．
故數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）++（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）=2+3t•2²+3t•2⁴++3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4）
故答案為2+t（2²⁰¹⁰-4）
（2）若數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q
使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
則有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①當(dāng)p=2，q=0時(shí)，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．
②當(dāng)t=0，q=0時(shí)，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．
因此當(dāng)且僅當(dāng)t=1或t=0，時(shí)，數(shù)列{a_n}也是“M類數(shù)列”．對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0，或-1，0．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)單的表示法，由題目定義一個(gè)數(shù)列求這個(gè)數(shù)列的一系列性質(zhì)的問(wèn)題．題目較復(fù)雜屬于綜合題．