Question

（本題滿分12分）
設橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	—2	4
y		0	—4		-

 
（1）求的標準方程；
（2）設直線與橢圓交于不同兩點且，請問是否存在這樣的
直線過拋物線的焦點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）方程為
（2）存在這樣的直線過拋物線焦點，的方程為：

解：（1）設拋物線，則有，據此驗證5個點知只有（3，）、（4，-4）在統一拋物線上，易求                                2分
設，把點（-2，0）（，）代入得
解得
∴方程為                                                  5分
（2）假設存在這樣的直線過拋物線焦點（1，0）
設其方程為設，
由。得                                    7分
由消去，得△
∴    ①

 ②     9分
將①②代入（*）式，得

解得    11分
假設成立，即存在直線過拋物線焦點F
的方程為：     12分