Question

【題目】如圖，在側棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，點P為CC1的中點．
（1）求證：A1C⊥平面ABP；
（2）求平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在側棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

∵AB平面ABC，∴AA1⊥AB，

∵AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，點P為CC1的中點，

∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，

又AA1∩AC=A，∴AB⊥A1C，

在矩形ACC1A1中，A1C= =3，AP= = ，

在Rt△A1CA中，sin∠A1CA= = ，

在Rt△PAC中，cos = ，

∴sin∠A1CA=cos∠PAC，∴∠PAC+∠A1CA=90°，

∴A1C⊥AP，

∵AP∩AB=A，∴A1C⊥平面ABP

（2）解：由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

以A為坐標原點，以AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），P（0， ， ），

=（1，0，0）， ，

設平面A1B1P的法向量為 =（x，y，z），

則 ，

令y=1，得 =（0，1， ），

由（1）知平面ABP的一個法向量為 =（0，﹣ ， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴sin＜ ＞= = ．

即平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值為 ．

【解析】（1）推導出AA1⊥AB，AB⊥AC，從而AB⊥A1C，再推導出A1C⊥AP，由此能證明A1C⊥平面ABP．（2）以A為坐標原點，以AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．