Question

【題目】已知a＞0，且a≠1．命題P：函數f（x）＝logax在（0，+∞）上為增函數；命題Q：函數g（x）＝x2﹣2ax+4有零點．

（1）若命題P，Q滿足P真Q假，求實數a的取值范圍；

（2）命題S：函數y＝f（g（x））在區間[2，+∞）上值恒為正數．若命題S為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；

（2）（1，）．

【解析】

（1）根據命題P，Q滿足P真Q假，計算得到答案.

（2）首先保證g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，再討論0＜a＜1和1＜a＜2兩種情況，分別計算得到答案.

（1）由命題P：函數f（x）＝logax在（0，+∞）上為增函數是真，得a＞1；

由命題Q：函數g（x）＝x2﹣2ax+4有零點為假，得△＝4a2﹣16＜0，得﹣2＜a＜2．

∴使命題P真Q假的實數a的取值范圍是（1，2）；

（2）若函數y＝f（g（x））在區間[2，+∞）上值恒為正數，

則首先保證g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，

則△＝4a2﹣16＜0或，

得﹣2＜a＜2．又a＞0且a≠1，∴0＜a＜2且a≠1．

當0＜a＜1時，外層函數f（x）單調遞減，而內層函數g（x）當x→+∞時，g（x）→+∞，

此時y＝f（g（x））＜0，不合題意；

當1＜a＜2時，外層函數f（x）單調遞增，要使y＝f（g（x））＞0在區間[2，+∞）上恒成立，

則g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．

即g（2）＝8﹣4a＞1，得a．

∴1＜a．

即使命題S為真命題的實數a的取值范圍是（1，）．