Question

【題目】如圖，△ABC為正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，將△ABC沿BC翻折．

（1）當AD＝2時，求證：平面ABD⊥平面BCD；

（2）若點A的射影在△BCD內，且直線AB與平面ACD所成角為60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）根據長度關系得到AE⊥平面BCD，得到證明.

（2）取BC中點O，BD中點E，連接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，計算HQ，AH，計算得到答案.

（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，則A在底面BCD內的射影為△BCD的外心，

∵△BCD為直角三角形，且∠BCD＝90°，

∴A在底面BCD內的射影E落在BD的中點上，

∴AE⊥平面BCD，而AE平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCD；

（2）取BC中點O，BD中點E，連接AO，OE，

可得BC⊥平面AOE，過A作AH⊥OE于H，過H作HN∥BC交CD于N，

連接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，

點B到平面ACD的距離為2HQ，則sin60，得HQ，

設AH＝x，有，解得x，即AH，

又AO，∴H與O重合，

則AD．