Question

求證：當a=2時，函數f（x）=x²-alnx在區間（1，2]上單調遞增，g（x）=x-a

x

在區間（0，1）內單調遞減．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：當a=2時，函數f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

，從而求導確定函數的單調性．

解答： 證明：當a=2時，函數f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-2

1

x

=2（x-

1

x

）；
∵x∈（1，2]，∴x-

1

x

＞0；
∴f′（x）＞0；
故函數f（x）=x²-alnx在區間（1，2]上單調遞增；
g（x）=x-2

x

，g′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），∴1-

1

x

＜0，
即g′（x）＜0；
故g（x）=x-a

x

在區間（0，1）內單調遞減．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數對單調性的判斷的應用，屬于中檔題．