Question

（本題滿分13分）

為了保護環境，某工廠在政府部門的支持下，進行技術改進： 把二氧化碳轉化為某種化工產品，經測算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數關系可近似地表示為： ， 且每處理一噸二氧化碳可得價值為萬元的某種化工產品.

(Ⅰ)當 時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不虧損？  

（Ⅱ） 當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 元；（Ⅱ）噸

【解析】（1）先確定該項目獲利的函數，再利用配方法確定不會獲利，從而可求政府每月至少需要補貼的費用；

（2）確定處理每噸二氧化碳的平均處理成本函數，分別求出分段函數的最小值，即可求得結論．

解：（Ⅰ）當時，設該工廠獲利為，則

    ……（2分）

所以當時，因此，該工廠不會獲利

所以國家至少需要補貼元，才能使工廠不虧損    ……（4分）

（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

                ……（6分）

①當時，所以，

因為，所以當時，為減函數，當時

，為增函數，所以當時， 取得最小值

                        ……（9分）

②當時，

 當且僅當即時，取最小值   ……（12分）

因為，所以當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少      ……  （13分）