Question

如圖，已知曲線C：在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q₁，過點Q₁作x軸的垂線交曲線C于點P₁，曲線C在點P₁處的切線與x軸交于點Q₂，過點Q₂作x軸的垂線交曲線C于點P₂，…，依次得到一系列點P₁、P₂、…、P_n，設點P_n的坐標為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面積
（Ⅲ）設直線OP_n的斜率為k_n，求數列{nk_n}的前n項和S_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過求導即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關系，利用等比數列的通項公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面積公式、梯形的面積公式及（Ⅰ）的結論即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結論即可求出nk_n，再利用“錯位相減法”即可求出S_n，進而證明結論．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴f^′（1）=-1，
∴曲線C：在點P（1，1）處的切線為y-1=-（x-1），
令y=0，則x=2，∴Q₁（2，0），∴，∴x₁=2．
則過點的切線斜率為，其方程為，
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴．
∴數列{x_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴．
（Ⅱ）∵=-
=-
===．
（Ⅲ）證明：由（1）可知：k_n====，∴nk_n=．
∴S_n=…+，
4S_n=+…+，
兩式相減得3S_n═1+++…+-=-，
∴S_n=．
故成立．
點評：熟練掌握導數的幾何意義、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”是解題的關鍵．